数据结构——带权有向图(最短路径算法Dijkstra算法)
Dijkstra算法-寻找有向图中最短路径
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。
举例来说,如果图中的顶点表示城市,而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G,以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。图中的每一个边,都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 假设E为所有边的集合,而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此,w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值,就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t,Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中,找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。
算法描述
这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时,源点s的路径长度值被赋为0(d[s]=0), 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大,即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径(对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞)。当算法结束时,d[v]中储存的便是从s到v的最短路径,或者是无穷大(如果路径不存在的话)。
Dijstra算法的基础操作是边的拓展:如果存在一条从u到v的边,那么从s到v的最短路径可以通过将边(u,v)添加到s到u的尾部来拓展。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小,我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候,每条边(u,v)都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点,而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空,而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中,算法对每条外接边(u,v)进行拓展。
算法思想
设S为最短距离已确定的顶点集(看作红点集),V-S是最短距离尚未确定的顶点集(看作蓝点集)。
①初始化
初始化时,只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0),故红点集S={s},蓝点集为空。
②重复以下工作,按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集,以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点,或者所有蓝点已扩充到红点集时,s到所有顶点的最短路径就求出来了。
注意:
①若从源点到蓝点的路径不存在,则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径;s到v的最短路径长度简称为v的最短距离,并记为SD(v)。
(3)在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
根据按长度递增序产生最短路径的思想,当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是:
源点,红点1,红点2,…,红点n,蓝点k
距离为:源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
为求解方便,设置一个向量D[0..n-1],对于每个蓝点v∈ V-S,用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点,则必为红点)的"最短"路径长度(简称估计距离)。
若k是蓝点集中估计距离最小的顶点,则k的估计距离就是最短距离,即若D[k]=min{D[i] i∈V-S},则D[k]=SD(k)。
初始时,每个蓝点v的D[c]值应为权w<s,v>,且从s到v的路径上没有中间点,因为该路径仅含一条边<s,v>。
注意:
在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键
(4)k扩充红点集s后,蓝点集估计距离的修改
将k扩充到红点后,剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小,此时必须调整相应蓝点的估计距离。
对于任意的蓝点j,若k由蓝变红后使D[j]变小,则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径:P=<s,…,k,j>。且D [j]减小的新路径P只可能是由于路径<s,…,k>和边<k,j>组成。
所以,当length(P)=D[k]+w<k,j>小于D[j]时,应该用P的长度来修改D[j]的值。
(5)Dijkstra算法
Dijkstra(G,D,s){
//用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
//以下是初始化操作
S={s};D[s]=0; //设置初始的红点集及最短距离
for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
D[i]=G[s][i]; //设置i初始的估计距离为w<s,i>
//以下是扩充红点集
for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
D[k]=min{D[i]:all i V-S}; //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
if(D[k]等于∞)
return; //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时,
//表示这些顶点的最短路径不存在。
S=S∪{k}; //将蓝点k涂红后扩充到红点集
for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
//新红点k使原D[j]值变小时,用新路径的长度修改D[j],
//使j离s更近。
D[j]=D[k]+G[k][j];
}
}
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